Bayesaradoja

Las matemáticas nunca se equivocan o ¿Tal vez si?. Con ese título que mezcla Bayes y paradoja os cuento un problema que nos ofrece dos soluciones distintas para un mismo caso.

Tengo dos dados que no están ni trucados ni cargados, la probabilidad de que salga en uno de ellos un resultado concreto, por ejemplo el 3,es de 1/6.
 ¿Cuál es la probabilidad de que si lanzamos dos veces el primero sea 3 y el segundo un número par?



La respuesta es sencilla, de 36 combinaciones posibles los casos favorables son 3, (3,2) (3,4) (3,6) , es decir la probabilidad será:

$$3/36=1/12$$

Si ahora usamos el teorema de bayes

$$P ( p | 3 )=\dfrac{P ( 3 | p ) P(p)}{P(3)}$$

Para obtener P(3|p) vemos casos posibles / casos favorables. Casos posibles son 36 y favorables, (3,2) (3,4) (3,6). Luego

$$P\left ( 3\mid p \right )=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$$

P(p)=probabilidad de que salga par a la segunda=1/2
P(3)=probabilidad de que salga 3 a la primera=1/6

Por tanto usando el teorema de bayes

$$P\left ( p\mid 3 \right )=\dfrac{P\left ( 3\mid p \right )P(p)}{P(3)}=\dfrac{\frac{1}{12}*\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{\dfrac{1}{24}}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{1}{4}$$

 Que no es el 1/12 que nos daba antes. La pregunta es ¿Dónde está el error?

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